DINAMICA DE SISTEMAS

                     Margen de fase y Ganancia  Para sistemas de fase mínima en bucle abierto, si la respuesta en frecuencia de la función de transferencia G(s)·H(s) presenta frecuencias en las que la ganancia es positiva a la vez que la fase tiene un valor inferior a -180º el sistema realimentado negativamente, M(s), será inestable.  • Margen de fase: Es el ángulo (en grados) que habría que restarle a la fase de G(s)·H(s) para volver inestable a M(s). Sobre las representaciones gráficas de la respuesta en frecuencia de G(s)·H(s), es el ángulo que le falta a la fase para llegar a -180º cuando la ganancia es 1 (0 dB). (Si la ganancia es siempre inferior a 0 dB el margen de fase será infinito) • Margen de ganancia : Es el valor por el que habría que multiplicar (o los dB que habría que sumar a) la ganancia de G(s)·H(s), para que M(s) se vuelva inestable. Es decir, para que cuando la fase sea -180º la ganancia fuese 1 (0 dB)

 Supongamos ahora un sistema continuo de orden superior a 2, como por ejemplo uno cuya función de transferencia sea: Al estimular ese sistema con un escalón unitario la respuesta será: La figura 4.29(a) muestra la gráfica de  y ( t ), mientras que la figura 4.29(b)muestra por separado los tres componentes de la respuesta natural, En la figura 4.29(b) se observa que el aporte a la respuesta natural debido a los polos  p 1  =  − 10 y  p 2  =  − 15 es considerablemente más pequeño que el debido a los polos  p 3 , 4  = − 1 ±  j 2. Lo anterior se debe a que los aportes de  p 1  y  p 2  decaen mucho más rápidamente que el aporte de  p 3 , 4 , ya que  e − 10 t y  e − 15 t decaen más rápidamente que  e − t . Se dice entonces que los polos  p 3 , 4  dominan  el comportamiento del sistema, o simplemente que son los  polos dominantes  . La figura 4.29(c) compara la res-puesta exacta  y ( t ) calculada según (4.13) y una respuesta aproximada  y aprox   ( t ) que se obtendría eliminando de  y ( t )

 Pese a que en las secciones anteriores se ha hecho ´énfasis en el efecto que tiene sobre la respuesta natural la ubicación de los polos en el plano, no debe desconocerse que los ceros también influyen en la respuesta. Supóngase un sistema continuo de segundo orden, con un cero real: La respuesta al escalón del sistema definido por (4.10) es: La figura 4.28 muestra la gráfica de (4.11), para tres valores distintos de  a , con unos valores fijos de  b  = 1 y  ω  = 1; es decir, lo que se está modificando es la posición del cero de la función de transferencia. Allí puede verse que la ubicación del cero afecta directamente la forma de la respuesta. Es importante resaltar que las regiones de diseño de las figuras 4.18 y 4.27fueron desarrolladas para sistemas  prototipo  de segundo orden, sin ceros. Estas regiones pueden emplearse para el análisis y control de sistemas de segundo orden con ceros, pero soló como una guía de carácter general. Más importante aun es resaltar que para ceros en el

 sistemas de discretos de primer orden Supóngase un sistema discreto de primer orden, cuya función de transferencia sea Al estimular el sistema con un paso unitario  µ ( k ), con condiciones iniciales nulas, la respuesta  y ( k ) puede calcularse como sigue: La expresión (4.4) muestra que la respuesta del sistema depender 'a del valor de  a . Este hecho se constata en la figura 4.1, que muestra las gráficas de  y  ( k ) para distintos valores de  a  .Al cambiar el valor de  a  también cambia el valor de el ´único polo de la funcione transferencia (4.3), que es − a . Para cualquier valor real positivo de  a  el polo es un real negativo  −  a , y viceversa. Cuando el polo es negativo, la respuesta del sistema es de signo alternante por el contrario, si el polo es positivo la respuesta siempre será del mismo signo. Por otra parte, si el valor absoluto de  a  es mayor que 1, el valor absoluto dé la respuesta tiende a infinito, y se dice que el sistema es  inestable . La figura4.6 muestra

Se denomina orden de un sistema al grado de su polinomio característico. Consecuentemente el orden de un sistema coincide con el número de polos de éste y con el orden de la ecuación diferencial que lo modela. Los sistemas más sencillos y representativos son los de 1er y 2º orden. El análisis de la respuesta temporal de los sistemas se hace a partir de su respuesta a ciertas entradas, en particular al escalón unitario u(t).  Un sistema de 1er orden tiene una función de transferencia de la forma:  La respuesta de este sistema ante una entrada escalón unitario tiene por expresión:  La representación gráfica de esta expresión puede verse en la siguiente grafica. Los parámetros característicos que aparecen representados en la figura anterior son: - K: La ganancia estática se define como el valor final ante entrada escalón unitario. - T: Constante de tiempo (es el tiempo en el que se alcanza el 63% del valor final). - ts= 3T: Tiempo de establecimiento (es el tiempo que tarda la respuesta en