sistemas discretos de primer orden y segundo orden

 sistemas de discretos de primer orden

Supóngase un sistema discreto de primer orden, cuya función de transferencia sea

Al estimular el sistema con un paso unitario µ(k), con condiciones iniciales nulas, la respuesta y(k) puede calcularse como sigue:

La expresión (4.4) muestra que la respuesta del sistema depender 'a del valor de a. Este hecho se constata en la figura 4.1, que muestra las gráficas de y (k) para distintos valores de a .Al cambiar el valor de a también cambia el valor de el ´único polo de la funcione transferencia (4.3), que es−a. Para cualquier valor real positivo de a el polo es un real negativo − a, y viceversa. Cuando el polo es negativo, la respuesta del sistema es de signo alternante

por el contrario, si el polo es positivo la respuesta siempre será del mismo signo. Por otra parte, si el valor absoluto de a es mayor que 1, el valor absoluto dé la respuesta tiende a infinito, y se dice que el sistema es inestable. La figura4.6 muestra cuales son las regiones de estabilidad e inestabilidad con referencia la recta real, es decir, en qué lugares debe estar ubicado el polo de la funcione transferencia para que el sistema sea, respectivamente, estable o inestable; también se muestra en la misma figura cuando la respuesta es alternante o no.

Para medir qué tan rápido decae una respuesta natural en los sistemas estables podemos definir el tiempo de asentamiento o tiempo de estabilización, como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera un porcentaje de su valor máximo, por ejemplo el 5%. Para el caso del sistema discreto de primer orden, este tiempo será el menor entero k(as) tal que:

En consecuencia, k(as) satisface

En general, al alejar el polo del origen (al acercarlo a 1 o −1) aumenta el tiempo de asentamiento, es decir, la respuesta es más lenta. Esto nos permite definir una región de tiempo de asentamiento máximo, como la que se muestra en la figura 4.7. Si el polo de la función de transferencia (4.3) cae en esa región podemos asegurar que su tiempo de asentamiento satisface k(as) ≤3/ln(|a|).Al igual que en el caso continuo, en el caso discreto la región de tiempo asentamiento máximo está contenida dentro de la región de estabilidad.

 sistema discreto de segunda orden

Supóngase ahora un sistema discreto de segundo orden, cuya función de transferencia sea:

Los polos de la función de transferencia serán:

El terminó del radical será menor o igual que cero; en caso de que sea menor, los dos polos serán los complejos conjugados:

Al estimular el sistema (4.7) con un paso unitario µ(k), con condiciones iniciales nulas, la respuesta y(k) puede calcularse como sigue:

sumando e igualando coeficientes se obtiene

Finalmente, las dos sinusoidales se pueden agrupar en una sola, para obtener:

donde

La figura 4.20 muestra la grafica de y(k) para unos valores específicos de a y b. Aunque y(k) solo tiene sentido en los valores enteros de k, se ha trazado también en punteado la curva que se obtendría para valores reales de k. Podría plantearse que para estudiar la secuencia y(k) (los puntos en la figura4.20) seria válido analizar el sistema continuo que la genera ((la curva punteada en la figura 4.20)); sin embargo, en ocasiones los resultados pueden ser muy engañosos: considérese el caso en que a = 3 y b = 0.7, que se grafica en la figura4.21; si se analiza la curva continúa, se concluye que el máximo valor (absoluto)de y(k) será cercano a 14, pero al ver la secuencia de puntos observamos que´ esta nunca supera (en valor absoluto) a 4.No obstante, dado que un análisis de la curva continúa arrojará valores mayores o iguales que la secuencia, puede utilizarse para establecer cotas superiores dé los valores de la secuencia, y así establecer regiones de diseño.

Región de estabilidad

Al evaluar (4.8) se observa que para valores de b mayores que 1 el terminó exponencial crece indefinidamente, y por tanto la respuesta se hará infinita. El terminó b coincide con la magnitud de los polos de (4.7), tal como se muestra en la figura 4.19, por lo tanto, la región de estabilidad, aquella en la que deben ubicarse los polos para que el sistema sea estable resulta ser el círculo unitario centrado en el origen, tal como se ve en la figura 4.22.

Región de tiempo máximo de asentamiento

La respuesta transitoria de (4.7) es el producto de la exponencial b(k) por la sinusoide sin(ak +φ), es decir, su amplitud es menor o igual que b(k). Si tomamos el tiempo de asentamiento como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera el 5% de su valor máximo en el caso del sistema discreto de segundo orden, este tiempo k(as) satisface:

Debido a que b es la magnitud de los polos de (4.7) , tal como se muestra en la figura 4.19, la región de tiempo de asentamiento máximo es la que se muestra en la figura 4.23.

Región de Frecuencia máxima de oscilación

La frecuencia de oscilación de la respuesta es la frecuencia de la sinusoidal de (4.7), es decir es a, que corresponde al ´ángulo de los polos de (4.7) respecto a la horizontal (ver figura 4.19). Por esta razón, la región de frecuencia maximice oscilación es la que se muestra en la figura 4.24.

Región de sobrepico máximo

Al comparar las respuestas a escalones unitarios de los sistemas continuos y discretos de segundo orden, que aparecen en las ecuaciones (4.6) y (4.8) respectivamente, podemos ver las semejanzas de estas respuestas. Si reescribimos b(k) como:

podemos asimilar los coeficientes de los exponentes y las sinusoides:

de tal manera que:

La ecuación 4.9 permite definir, para el caso discreto, curvas análogas a lasque generan la región de sobrepico máximo de los sistemas continuos (figura4.17). La figura 4.25 muestra las curvas generadas por la ecuación (4.9) para distintos valores de ξ.

Por su parte, la figura 4.26) muestra la región definida por (4.9) al fijar un valor de ξ  (o de φ), es decir, al establecer un factor de amortiguamiento. Esta región no es la región de sobrepico máximo, sino la región de amortiguamiento mínimo. El sobrepico máximo es más difícil de obtener debido a que el tiempo es discreto.