ecuaciones lineales

 En matemáticas, una ecuación diferencial lineal es aquella ecuación diferencial cuyas soluciones pueden obtenerse mediante combinaciones lineales de otras soluciones. Estas últimas pueden ser ordinarias (EDOs) o en derivadas parciales (EDPs). Las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales cuando son homogéneas forman un espacio vectorial, a diferencia de las ecuaciones diferenciales no lineales.

La ecuación



es un ejemplo de como luce una ecuación lineal en general.

Una ecuación diferencial lineal tiene la forma:
donde el operador diferencial L es un operador lineal, y es la función incógnita o desconocida (una función que podría ser dependiente del tiempo y(t)), y del lado derecho f es una función conocida de la misma naturaleza que y (denominada término de excitación). Para una función dependiente del tiempo se puede escribir la ecuación más detalladamente como:

y también se puede usar la notación con corchetes:
El operador lineal L puede ser de la siguiente forma:
o sino:
La condición de linealidad sobre L se da mientras no aparezcan productos de la función desconocida consigo misma, ni con ninguna de sus derivadas. Es conveniente reescribir esta ecuación en donde la forma del operador es:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

Si f = 0 la ecuación se denomina homogénea y sus soluciones se denominan funciones complementarias. Esta solución es muy importante para el caso general, y que cualquier función complementaria puede sumarse a la solución de la ecuación cuando es homogénea (f ≠ 0) y resulta en otra solución. Cuando los ak son números, la ecuación se dice que tiene coeficientes constantes.
























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