transformada de Laplace

creada por Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal.

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

Definición de la Transformada

Sea f una función definida para t ≥ 0 , la transformada de Laplace de f(t) se define como:

cuando tal integral converge

Notas

• La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
• La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
• Condiciones para la existencia de la transformada de una función:

1. De orden exponencial
2. Continua a trozos

Tabla de transformadas de Laplace

Propiedades de la transformada de Laplace

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.

Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications

• linealidad

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

versión inversa: 

• Primer Teorema de Traslación
  

donde

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

Versión inversa:

• Teorema de la transformada de la derivada 

La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.