transformada z
la transformada de Fourier tiene una importancia fundamental en la representación y análisis de señales y sistemas discretos. Una generalización de ella es la transformada Z.
El motivo principal para tratar con la transformada Z consiste en que la transformada de Fourier no converge para todas las secuencias; lo que hace necesario plantear una transformación que cubra una más amplia gama de señales.
Adicionalmente, la transformada Z presenta la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente.
El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.
Anteriormente se definió la transformada de Fourier de una secuencia x(k) como el siguiente ejemplo:
La transformada de la misma secuencia se define como:
la ecuación anterior es un ejemplo de un operador que transforma una secuencia en una función de la variable compleja continua z.
genéricamente:
La correspondencia entre una secuencia y su transformada se denota como:
Es importante destacar que existe una relación muy cercana entre la transformada de Fourier y la transformada Z; en particular, si se observa la sustitución de la variable compleja ejw por la variable compleja z . Cuando existe, la transformada de Fourier es simplemente X(z)= ejw.
Propiedades:
linealidad:
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